理解串行数据测试中的总体抖动算法

在高速串行数据的测试中，抖动的测试非常重要。在串行数据的抖动测试中，抖动定义为信号的边沿与其参考时钟之间的偏差。对于抖动测量值的量化，通常有抖动的峰峰值和有效值这两个参数。不过，抖动的峰峰值随着测量时间的增加，测量值不断变大，不能将抖动值与误码率直接联系起来，所以对于抖动测试，抖动的峰峰值并不是一个理想的指标来很衡量器件和系统的性能。

总体抖动（Total Jitter，简称Tj）为某误码率（Bit Error Ratio，简称BER）下抖动的峰峰值，在很多串行数据的规范中通常需要测量误码率为的Tj，简写为Tj@BER=10e-12。对于BER小于10e-8的Tj的测量，通常只有误码率测试仪BERT可以直接测量到。对于示波器，假设该高速信号为2.5Gbps的PCIe，单个bit的时长为Unit interval = 400ps，假设示波器采样率为20G采样率，则1个bit上包括了400ps/50ps = 8个采样点，一次分析1M个bit需要8M的存储深度，如果要测量10个比特的抖动，需要让示波器在8M的存储深度下扫描100次，由于示波器在8Mpts时计算抖动已经很耗时，重复100次的测试时间会非常长。所以示波器测量小于的误码率时的总体抖动必须通过某些算法来估算Tj。

图1：TIE抖动图示与抖动概率密度函数（PDF）

基于示波器求解抖动的算法通常在三个领域观察和分析，即时域、频域、统计域。比如TIE track即为TIE抖动在时域的函数；在频域分析抖动的频谱，可以计算周期性抖动Pj和随机抖动Rj；TIE直方图、Tj的概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）是在统计域来分析抖动。

对于总体抖动的计算，通常从统计域分析，即分析抖动的直方图、概率密度函数PDF和累计分布函数（Cumulative Distribution Function，简称CDF）。

概率密度函数PDF的定义为：对于实数随机变量X，任何满足下列条件的函数都可以被定义为其概率密度函数

在下图2中简要描述了从TIE直方图生成PDF、CDF、浴盆曲线Bathtub curve的过程。

在第一步的图示中，X轴是抖动的值，Y轴是某个抖动值上的样本数量，示波器测量每个信号每个边沿与参考时钟的偏差（即TIE），统计在某个抖动值上边沿的数量，得到TIE的直方图；

第二步中对直方图做归一化，即直方图中每个方柱子的数量除以样本总数，得到每个抖动值的发生概率，在这一步中即可得到TIE的概率密度函数PDF；

图2：抖动的直方图与PDF

在第三步中，对PDF的直方图从左右两边向中央进行积分。假定信号边沿相对理想位置超出距离x时，可能导致误码，误码率是对PDF从x到∞或-∞的积分（当x大于0时为∞，小于0时为-∞）：BER(x) = =1-CDF(x)。然后，对Y轴取对数后如下图3中深蓝色直方图。所示，由于测试样本较少，最矮的直方图的概率（即误码率）仅1%=10，要计算10的BER，需要对现有的BER直方图进行外插值；

在第四步中（如下图3中Step4的图片）显示了外插值后的BER图，绿色的柱子是外插值得到的，在图上测量10时抛物线形状的BER曲线的内侧的宽度，即可得到Tj；

第五步中把外插值后的BER图（类似于抛物线的曲线）以x=0分割成两条曲线后，设定横轴的最大值为0.5UI（Unit interval，即一个比特的宽度），最小值为-0.5UI，即水平方向正好一个UI的宽度，把Step4中生成的BER图左半部分的曲线右移靠最右边，右半部分的曲线左移靠最左边，即可得到浴盆曲线Bathtub curve。

图3：抖动的PDF/BER/CDF与浴盆曲线

当然，在上述的Tj求解过程中，除了BER图中的外插值部分，其他都是基于实测结果计算的，所以BER图的外插值是示波器的抖动分析算法中最关键的一部分。外插值算法的模型精准度决定了Tj计算的精度。由于外插值算法是对实测的BER/CDF图中尾部进行拟合和外插值，在国外的相关文献中称为tail-fit算法。

在业界除了对BER图进行外插值以获取小误码率的Tj这种方法外，另外一种方法是对PDF进行外插值，得到BER<10的PDF，然后积分得到BER/CDF和浴盆曲线，从而算出Tj。两种算法分别称为PDF尾部拟合算法（tail-fit method for PDF）和BER/CDF尾部拟合算法（tail-fit method for the BER/CDF）。

       下面简要介绍一种tail-fit method for PDF方法。如下图4所示:

第一步统计TIE分布的直方图，测量的样本数量越多，推算的Tj越准确，在下面的TIE直方图中包括了102.6k个样本；

第二步对TIE直方图的Y轴（即样本数量）取对数，把Y坐标变为对数坐标，对数运算后直方图的轮廓近似为二次方程曲线；

第三步使用最小二乘法对两个尾部进行拟合；

第四步对直方图的尾部进行外插值，归一化后可得到BER=10的概率密度函数；

第五步对每一个偏移值x进行积分：BER(x) = =1-CDF，得到BER/CDF曲线；

第六步测量某误码率下CDF曲线的宽度即为总体抖动Tj。

图4：PDF的尾部拟合算法计算总体抖动

在尾部拟合（tail-fit）算法中，前提是测量的抖动样本足够多，抖动直方图中包括了很多小概率的抖动事件，通常这些小概率的抖动样本分布在直方图的尾部，在尾部有了足够的样本后才可以准确的进行尾部拟合与外插值。

总结：

本文简要介绍了总体抖动的直方图、概率密度函数、误码率BER与累计分布函数CDF、浴盆曲线，以及两种tail-fit算法的处理步骤，后续的文章将介绍力科独特的抖动求解算法——NQ-Scale算法以及串行数据分析仪SDA中的几种抖动分解方法。

参考文献：

1, Jitter, Noise, and Signal Integrity at High-Speed,  Mike Peng Li

2, Fibre Channel – Method Jitter and Signal Quality Specification – MJSQ, T11.2/Project 1315-DT/Rev 14.1, June 5, 2005.

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